Babilliler bazı şeyleri farklı yapardı. Sayılara olan yaklaşımları, Yunanların aksine, günümüzdekinden çok daha soyuttu.

Yıllar önce Wagner’in Nibelung Yüzüğü’nün temsillerinden biri için Berlin’e gittiğimde, İbrani ve Yahudi Çalışmaları alanında uzmanlığı olan bir meslektaşla tanıştım. Akad ve Sümer metinleri okuyabilen bir matematikçi olduğumdan beni çivi yazısının matematiği konusunda araştırma yapan bir uzmanla tanıştırmak istedi. Çivi yazısını öğrenmekteki asıl maksadım antik matematikle ilgilenmek değil ama Gılgamış Destanı’nı okumak olmasına rağmen önerisini kabul ettim.

Görüşmemizin sonunda henüz tanışmış olduğum Alman akademisyen bana, “Kannten die Babylonier den Satz des Pythagoras?” (Babilliler Pisagor Teoremini Biliyor muydu?) başlıklı bir makale verdi. Zira bu konuya ilişkin farklı görüşler olduğunu biliyordum ve Plimpton 322 adlı tabletten haberdardım. Çivi yazısı matematiğinde duayen kabul edilen Otto Neugebauer, bahse konu tabletteki sayıların Pisagor teoremiyle ilişkili olduğunu gösteren kısa bir makale yazmıştı.

Neugebauer Almanya’da çalışan Avusturyalı bir matematikçiydi ve Nazilerden bir adım önde olmak için önce Danimarka’ya sonra da New York’a taşınmıştı. Plimpton tabletini orada, Columbia Üniversitesi’nde okudu. O zamana kadar konuyla ilgili bilgim, Neugebauer’in tabletlerdeki çok basamaklı sayılar tablosunu Pisagor teoremiyle ilişkilendirdiğiydi. Ancak günün birinde bir meslektaşım bana Babillilerin kullandığı çivi yazısının matematiksel bir mantığını açıklayan yeni tarihli bir kitap getirdi ve incelememi istedi. Açıkçası kabul ederken pek de istekli değildim çünkü gerçekten nereden başlayacağımı kestiremediğim, devasa bir derlemeydi.

Dikdörtgenler ve köşegenleriyle ilgili bölümü açtım ve anında kendimi kaptırdım. Bu bölümde, tabletlerden alıntılanan antik alıştırmalar vardı ve okura, bir dikdörtgenin köşegenlerinin nasıl hesaplanacağını anlatıyordu: kenar uzunluklarının karesini bulun, sonuçları toplayın ve bulduğunuz sayının kökünü alın. Biz buna Pisagor teoremi adını veriyoruz. Yani Babilliler, belli ki o zaman bile sonucu biliyordu. Birbiriyle bağlantılı birkaç alıştırma daha vardı ve içlerinden biri gerçekten çarpıcıydı: alanı ve köşegen uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun. Verilen çözüm, Pisagor teoreminin ispatlarında kullandığımız çizimlerden birini çağrıştırıyordu.

Peki bu ne anlama geliyor olabilir? Çivi yazılı tabletlerdeki bütün alıştırmaların asıl maksadı öğrenciye, daha doğrusu öğretmene neler olup bittiğine dair net bir görüş kazandırmaktı çünkü alanı ve köşegen uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını hesaplamak, Pisagor teoreminin doğruluğu konusunda size net bir görüş verir. Babilliler, kendilerinden sonra gelen Yunanların aksine ispat yazmadılar. Fakat tabletlerden anlaşıldığı kadarıyla kullandıkları yöntemlerin niçin işe yaradığını açıklayabiliyorlardı ve bu konuda yetkin öğretmenleri vardı.

Yunanlar sayıları kullanarak uzunluğu, alanı ve hacmi ifade ederler. Pisagor teoreminin Öğelerin Birinci Kitabı’ndaki kanıtı, dik açılı bir üçgenin üç kenarına eklenen üç kareyle gösterilir. Burada uzun ve kısa kenarlara eklenen karelerin alanlarının toplamı, hipotenüsün kenarına eklenen karenin alanına eşittir. Fakat Babilliler işleri biraz daha farklı bir usulle yürütür ve sayıları soyut bir bakış açısıyla ele alırlar. Mesela ikinci dereceden denklemleri çözebiliyor ve çözerken de bizim formül adını verdiğimiz standart bir usulü kullanıyorlardı. Formüller konusunda usta oldukları, hatta   Plimpton 322’deki sayıları türetmek için formüllere başvurdukları açıktı. Yunanların aksine tam sayılarla ilgilenmediler. Bir dikdörtgenin boyutlarını gösteren üç sayıyı (kısa kenar, uzun kenar, köşegen) bulabilmek için uzun kenarı baz aldılar. Böylelikle sayıları gerektiği kadar büyütüp küçültebiliyorlardı.

Bunu Babil matematiği konusunda detaylı araştırmalar yapan İsveçli matematikçi Jöran Friberg’in çalışmalarından biliyoruz. Babilliler, teknik sebepler dolayısıyla 1 + √2 ile 1 arasında olması gereken tek bir “s” sayısıyla başlar ve biri dikdörtgenin kısa kenarı ötekiyse köşegen olmak üzere kalan iki sayıyı hesaplayabilmek için basit bir formül kullanırlar. “s” sayısının 1 + √2’ye yakın bir değer alması halinde dikdörtgen kareye doğru evrilirken “s” sayısı azaldıkça giderek daha uzun bir forma kavuşur. Modern terimlerle ifade etmek istersek “s” sayısına parametre diyebilir, payı ve paydayı Babillilerin kullandığı 60’lı sayı tabanına uygun kesirlerden seçmek koşuluyla hem kısa kenarı hem de köşegeni tam olarak hesaplayabiliriz. Bu gerçekten dikkate değer bir durum çünkü bize 3-4-5 ya da 8-15-17 gibi, herhangi bir hesaplama gerektirmeyen dik açılı üçgenleri verir. Antik Yunan matematiğiyse yöntem bakımından geometri yerine cebir kullandığından bunu yapamazdı.

Dahası, tabletteki verilerin sıralanışı ilk etapta rastgele görünse de aslında bariz bir metoda dayanıyor. Friberg’in yeniden yapılandırdığı, sol yarısı noksan kırık tablette “s” parametresi 12/5 (1+√2’ye yakın) ile başlar ve 9/5 kesrine ulaştığı on beşinci satıra kadar kademeli olarak azalır. Babillilerin tabletlerin iki yüzünü de kullanması ayrı bir detay. Arka yüz genelde sütunlara ayrılır ve bu sütunlar da tablo işlevi görerek daha fazla verinin hesaplanmasına imkân tanır.

Buna karşın Öklid, alan ölçüsü üçüncü bir kareye eklenecek olan iki kare oluşturmak için geometrik bir yöntem üretti ama dik açılı üçgenler üzerinde yeterince kontrol sağlayamadı. Sonuç itibariyle Babiller en baştan beri oyunun hep ilerisinde oldular ama maalesef matematik konusunda dehaları hiçbir zaman yeterince bilinmedi.

Çeviren: Fulya Kılınçarslan